『統計量の分布』-【QC検定の対策講座】#29

サブロー

こんにちは。管理人のサブローです。QC検定2級の資格取得を最終的な目的として解説をしていきたいと思います。

第29回目の対策講座(手法編#21)の今回は、

統計量の分布

の説明をしていきますので、よろしくお願いします。

モグゾー

こんにちは。サポート役のモグゾーです。2級を対象としていますが、内容は3級、4級も網羅しています。また参考として対象級を記載していますが、4級に関しては記載の中でも基本的な部分のみを押さえればよいかと思います。

QC=Quality Controlの略で品質管理の意味。また職場内で自発的に集まった少人数の集団が、製品･サービスの品質管理や改善、不具合品の低減、安全対策に取り組む(QC活動)ことをQC活動という。

↓QC(品質管理)検定の概要に関しては、下記リンクをご覧ください↓

↓QC(品質管理)検定講座のINDEXは下記リンクをご覧ください(随時更新予定)↓

管理図の考え方、使い方

平均値の分布

母平均μ、母分散σ＾2の母集団から、大きさnのサンプル(標本)をランダムに抽出したとき、n個のサンプル(標本)の平均値xバーと分散の関係性は下記の式で表される。

E：平均値。無限個を取った試料の平均値という意味から、期待値とも呼ばれる。

また

と標準化すると、ZはN(0、1＾2)の標準正規分布に従うとき、このZは検定統計量と呼びます。

このnが十分に大きいときは、下記の2つの定理、法則が成り立つと言われています。

大数の法則

★同一の試行を無限回行えば標本平均は母平均（期待値）に収束する。分かりやすい例としては、サイコロを振り、出た目を記録する。この作業を多くの回数を繰り返せば、出た目の平均（標本平均）が出る目の平均である 3.5 近辺から外れる確率が小さくなってくることがイメージしやすいと思います。

中心極限定理

★母集団の確率分布によらず、標本の大きさ n が十分に大きければ、和や標本平均の分布は正規分布に従う。
→元の分布がどんな分布であっても、十分な数のサンプルn個を取り出して平均をとる試行を繰り返せば、その標本平均の分布は正規分布になる。

に従うとみなせることができる。

t分布

N(μ,σ2)からn個のサンプルをとり、次の式で与えられる検定統計量tは、自由度φ=n-1のt分布に従うと言われています。
t分布（ティーぶんぷ、またはスチューデントのt分布、英: Student's t-distribution）は、連続確率分布の一つであり、正規分布する母集団の平均と分散が未知で標本サイズが小さい場合に平均を推定する問題に利用されます。

t表－両側確率

～t分布の性質～

1.正規分布のような左右対称な山型をしたヒストグラムが描ける
2.自由度が大きくなると、正規分布に近づく
3.サンプル数が少ない場合、母集団の平均値を検定・推定するとき（ｔ検定）に使用される

X＾2(カイ2乗)分布

分散σ＾2の正規分布N(μ,σ＾2)に従う得率な確率変数からn個のサンプルをとり、その平方和Sをσ＾2で割ったものは、

自由度φ＝n-1のX＾2　分布に従うと言われています。

X＾2(カイの2乗)表－(上側確率)

～X＾2分布の性質～

1.カイ２乗分布は、データが特定の比率で分布しているかどうかを調べる（カイ２乗検定）ときに使用される
2.これは応用範囲が広く、データが正規分布かどうかを調べる（正規性の検定）にも使える
3.母標準偏差の検定・推定にも用いられる
4.左右非対称の形
5.自由度によって大きく形状が変わる

F分布

F分布（F-distribution）とは、統計学および確率論で用いられる連続確率分布。スネデカーのF分布(Snedecor’s F distribution)、又はフィッシャー-スネデカー分布(Fisher-Snedecor distribution)とも呼ばれています。この名前からF分布になっています。

分散が等しい2つの正規分布

と

から、それぞれランダムにとられたn1、n2のサンプルから得られた不偏分散を、それぞれV1、V2とすると

のF分布に従うと言われています。(V1>V2)

自由度φ1、φ2のF分布の上側確率αの点を

と表します。

下側確率は

と表します。

F表-上側確率

～F分布の性質～

1.母集団の分散を検定・推定するとき(Ｆ検定)に使用される
2.分散＝標準偏差＾２　の関係にある
3.分散が等しい場合は、標準偏差も同じでバラツキが等しい
4.工程改善を行った場合のバラツキ改善度合いを調べるのに使わる
5.左右非対称の形
6.自由度で形が決まる

モグゾー

それでは、今回はここまで。最後までお読みいただきありがとうございました！
下の講義内容も是非ご覧下さい！！